Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} + 20 x + 48$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) + 48$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 16 + 20 (- 4) + 48$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 + 20 (- 4) + 48$

Étape 4.1.3

Multipliez $20$ par $- 4$ .

$32 - 80 + 48$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $80$ de $32$ .

$- 48 + 48$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 48$ et $48$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 48}{x + 4}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 4$	$2$	$20$	$48$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 4$	$2$	$20$	$48$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(20)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$	$12$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(12)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 48)$ sous le terme suivant dans le dividende $(48)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(2) x + 12$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x + 12$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 12$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$(x + 4) (2 (x) + 12)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$(x + 4) (2 x + 2 \cdot 6)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 6$ .

$(x + 4) (2 (x + 6))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 20 x + 48$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 20 x + 48 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $20 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (10 x) + 48 = 0$

Étape 8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$2 x^{2} + 2 (10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (10 x)$ .

$2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24$ .

$2 (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez $x^{2} + 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $10$ .

$4, 6$

Étape 8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 4) (x + 6) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 4) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - 4, - 6$

Étape 13